Đây là danh sách các ký hiệu đã được sử dụng cho các vi thừa.

Tên	Ký hiệu tương đương với H n ( a , b ) {\displaystyle H_{n}(a,b)}	Giải thích
Ký hiệu mũi tên lên Knuth	a ↑ n − 2 b {\displaystyle a\uparrow ^{n-2}b}	Được sử dụng bởi Knuth[3] (cho n ≥ 3), và được tìm thấy trong một số sách tham khảo.[4][5]
Ký hiệu Goodstein	ϕ ( a , b , n − 1 )    với  1 ≤ n ≤ 3 ϕ ( a , b − 1 , n − 1 )    với  n ≥ 4 {\displaystyle {\begin{matrix}\phi (a,b,n-1)\ {\text{ với }}1\leq n\leq 3\\\phi (a,b-1,n-1)\ {\text{ với }}n\geq 4\end{matrix}}}	Được sử dụng bởi Wihelm Ackermann với n ≥ 1)
Hàm Ackermann gốc	G ( n , a , b ) {\displaystyle G(n,a,b)}	Được sử dụng bởi Reuben Goodstein.
Hàm Ackermann	A ( n , b − 3 ) + 3 = H n ( 2 , b ) {\displaystyle A(n,b-3)+3=H_{n}(2,b)}	Điều này tương ứng với các vi thừa cho cơ số 2
Ký hiệu Nambiar	a ⊗ n − 1 b {\displaystyle a\otimes ^{n-1}b}	Được sử dụng bởi Nambiar (với n ≥ 1)[6]
Ký hiệu hộp	a n b {\displaystyle a{\,{\begin{array}{|c|}\hline {\!n\!}\\\hline \end{array}}\,}b}	Được sử dụng bởi Rubtsov và Romerio.
Ký hiệu bệ trên	a ( n ) b {\displaystyle a{}^{(n)}b}	Được sử dụng bởi Robert Munafo.
Ký hiệu bệ dưới	a ( n ) b {\displaystyle a{}_{(n)}b}	Được sử dụng cho các hạ vi thừa của Robert Munafo.
Ký hiệu phép toán (với "các phép toán mở rộng")	a O n − 1 b {\displaystyle aO_{n-1}b}	Được sử dụng cho các hạ vi thừa bởi John Donner và Alfred Tarski (với n ≥ 1).
Ký hiệu ngoặc vuông	a [ n ] b {\displaystyle a[n]b}	Được sử dụng trong nhiều diễn đàn trực tuyến, thuận tiện cho ASCII..
Ký hiệu mũi tên xích Conway	a → b → ( n − 2 ) {\displaystyle a\to b\to (n-2)}	Được sử dụng bởi John Horton Conway (cho n ≥ 3)
Ký hiệu mảng Bowers	{ a , b , n } {\displaystyle \{a,b,n\}}	Được sử dụng bởi Jonathan Bowers (cho n ≥ 1)

Bắt đầu từ một (phép cộng)

Năm 1928, Wilhelm Ackermann đã định nghĩa hàm 3 đối số ϕ ( a , b , n ) {\displaystyle \phi (a,b,n)} dần dần phát triển thành hàm 2 đối số được gọi là hàm Ackermann. Hàm Ackermann gốc ϕ {\displaystyle \phi } ít giống với dãy vi thừa hiện đại, bởi vì điều kiện ban đầu của ông ấy bắt đầu bằng ϕ ( a , 0 , n ) = a {\displaystyle \phi (a,0,n)=a} với mọi n > 2. Ngoài ra, ông đã gán phép cộng cho n = 0, phép nhân cho n = 1 và luỹ thừa cho n = 2, vì vậy các điều kiện ban đầu tạo ra các phép toán rất khác nhau cho túc thừa và vượt xa hơn.

n	Phép toán	Bình luận
0	F 0 ( a , b ) = a + b {\displaystyle F_{0}(a,b)=a+b}
1	F 1 ( a , b ) = a ⋅ b {\displaystyle F_{1}(a,b)=a\cdot b}
2	F 2 ( a , b ) = a b {\displaystyle F_{2}(a,b)=a^{b}}
3	F 3 ( a , b ) = a [ 4 ] ( b + 1 ) {\displaystyle F_{3}(a,b)=a[4](b+1)}	Một dạng bù của túc thừa. Lặp lại của hoạt động này là khác nhau nhiều so với lặp lại của túc thừa.
4	F 4 ( a , b ) = ( x ↦ a [ 4 ] ( x + 1 ) ) b ( a ) {\displaystyle F_{4}(a,b)=(x\mapsto a[4](x+1))^{b}(a)}	Không được nhầm lẫn với thụ thừa.

Bắt đầu từ 0 (phép tiết triển)

Năm 1984, C. W. Clenshaw và F. W. J. Olver bắt đầu cuộc thảo luận về việc sử dụng các vi thừa để ngăn chặn máy tính tràn dấu phẩy động.[7] Kể từ đó, nhiều tác giả khác[8][9][10] đã đổi mới quan tâm đến việc áp dụng các vi thừa vào biểu diễn dấu phẩy động. (Vì Hn(a, b) đều được định nghĩa cho b = -1). Trong khi thảo luận về túc thừa, Clenshaw et al. giả định điều kiện ban đầu F n ( a , 0 ) = 0 {\displaystyle F_{n}(a,0)=0} , điều này tạo ra một hệ thống phân cấp vi thừa khác. Giống như trong các biến thể trước đó, phép toán thứ tư rất giống với túc thừa, nhưng bù lại bằng một.

n	Phép toán	Bình luận
0	F 0 ( a , b ) = b + 1 {\displaystyle F_{0}(a,b)=b+1}
1	F 1 ( a , b ) = a + b {\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}
2	F 2 ( a , b ) = a ⋅ b = e ln ⁡ ( a ) + ln ⁡ ( b ) {\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b=e^{\ln(a)+\ln(b)}}
3	F 3 ( a , b ) = a b {\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}}
4	F 4 ( a , b ) = a [ 4 ] ( b − 1 ) {\displaystyle F_{4}(a,b)=a[4](b-1)}	Một dạng bù của túc thừa. Lặp lại của hoạt động này là khác nhau nhiều so với lặp lại của túc thừa.
5	F 5 ( a , b ) = ( x ↦ a [ 4 ] ( x − 1 ) ) b ( 0 ) = 0  if  a > 0 {\displaystyle F_{5}(a,b)=\left(x\mapsto a[4](x-1)\right)^{b}(0)=0{\text{ if }}a>0}	Không được nhầm lẫn với thụ thừa.

Hệ hạ vi thừa

Một sự thay thế cho các vi thừa này có được bằng cách đánh giá từ trái sang phải. Kể từ khi

a + b = ( a + ( b − 1 ) ) + 1 a ⋅ b = ( a ⋅ ( b − 1 ) ) + a a b = ( a ( b − 1 ) ) ⋅ a {\displaystyle {\begin{aligned}a+b&=(a+(b-1))+1\\a\cdot b&=(a\cdot (b-1))+a\\a^{b}&=\left(a^{(b-1)}\right)\cdot a\end{aligned}}}

định nghĩa (với ° hoặc bệ dưới)

a ( n + 1 ) b = ( a ( n + 1 ) ( b − 1 ) ) ( n ) a {\displaystyle a_{(n+1)}b=\left(a_{(n+1)}(b-1)\right)_{(n)}a}

với

a ( 1 ) b = a + b a ( 2 ) 0 = 0 a ( n ) 1 = a với  n > 2 {\displaystyle {\begin{aligned}a_{(1)}b&=a+b\\a_{(2)}0&=0\\a_{(n)}1&=a&{\text{với }}n>2\\\end{aligned}}}

Điều này đã được Donner và Tarski mở rộng thành số thứ tự,[11]bởi:

α O 0 β = α + β α O γ β = sup η < β , ξ < γ ( α O γ η ) O ξ α {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha O_{0}\beta &=\alpha +\beta \\\alpha O_{\gamma }\beta &=\sup \limits _{\eta <\beta ,\xi <\gamma }(\alpha O_{\gamma }\eta )O_{\xi }\alpha \end{aligned}}}

Đối với a ≥ 2 và b ≥ 1,

a O n b = a ( n + 1 ) b {\displaystyle aO_{n}b=a_{(n+1)}b}

Nhưng điều này phải chịu một loại sụp đổ, không thành lập "tháp mũ" theo truyền thống dự kiến ​​của các vi thừa:

α ( 4 ) ( 1 + β ) = α ( α β ) . {\displaystyle \alpha _{(4)}(1+\beta )=\alpha ^{\left(\alpha ^{\beta }\right)}.}

Nếu α ≥ 2 và γ ≥ 2,

α ( 1 + 2 γ + 1 ) β ≤ α ( 1 + 2 γ ) ( 1 + 3 α β ) . {\displaystyle \alpha _{(1+2\gamma +1)}\beta \leq \alpha _{(1+2\gamma )}(1+3\alpha \beta ).}

n	Phép toán	Bình luận
0	F 0 ( a , b ) = a + 1 {\displaystyle F_{0}(a,b)=a+1}	phép tiết triển, điệp thừa
1	F 1 ( a , b ) = a + b {\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}
2	F 2 ( a , b ) = a ⋅ b {\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b}
3	F 3 ( a , b ) = a b {\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}}
4	F 4 ( a , b ) = a ( a ( b − 1 ) ) {\displaystyle F_{4}(a,b)=a^{\left(a^{(b-1)}\right)}}	Không được nhầm lẫn với túc thừa.
5	F 5 ( a , b ) = ( x ↦ x x ( a − 1 ) ) b − 1 ( a ) {\displaystyle F_{5}(a,b)=\left(x\mapsto x^{x^{(a-1)}}\right)^{b-1}(a)}	Không được nhầm lẫn với thụ thừa. Tương tự như túc thừa.

Hệ vi thừa giao hoán

Các vi thừa giao hoán đã được Albert Bennett xem xét vào đầu năm 1914, đó có thể là nhận xét sớm nhất về bất kỳ dãy vi thừa nào. Các vi thừa giao hoán được xác định bởi quy tắc đệ quy

F n + 1 ( a , b ) = exp ⁡ ( F n ( ln ⁡ ( a ) , ln ⁡ ( b ) ) ) {\displaystyle F_{n+1}(a,b)=\exp(F_{n}(\ln(a),\ln(b)))}

đối xứng trong a và b, có nghĩa là tất cả các vi thừa đều có tính giao hoán. Dãy này không chứa lũy thừa, và do đó không hình thành một hệ thống phân cấp vi thừa.

n	Operation	Comment
0	F 0 ( a , b ) = ln ⁡ ( e a + e b ) {\displaystyle F_{0}(a,b)=\ln \left(e^{a}+e^{b}\right)}	Smooth tối đa
1	F 1 ( a , b ) = a + b {\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}
2	F 2 ( a , b ) = a ⋅ b = e ln ⁡ ( a ) + ln ⁡ ( b ) {\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b=e^{\ln(a)+\ln(b)}}	Điều này là do các thuộc tính của đối thừa.
3	F 3 ( a , b ) = a ln ⁡ ( b ) = e ln ⁡ ( a ) ln ⁡ ( b ) {\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{\ln(b)}=e^{\ln(a)\ln(b)}}	Một hình thức giao hoán của lũy thừa.
4	F 4 ( a , b ) = e e ln ⁡ ( ln ⁡ ( a ) ) ln ⁡ ( ln ⁡ ( b ) ) {\displaystyle F_{4}(a,b)=e^{e^{\ln(\ln(a))\ln(\ln(b))}}}	Không được nhầm lẫn với túc thừa.